Aplicaciones de las ED de orden superior

Tarea 5.

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

Instrucciones:

Todos deberán contar con la solución de todos los problemas de forma personal para posterior revisión.

Por equipos, formados en la tarea anterior de aplicaciones, deberán comprometerse en la solución de un problema. Elaborar una presentación de dicha solución que contenga: Fundamentos, planteamiento del modelo, solución de la ED (indicando el tipo de ésta y métodos de solución empleados, haciendo hincapié en el significado físico de cada concepto matemático estudiado), gráfica de la solución.



Fecha de revisión de avance: 11 de noviembre


Fecha de presentaciones: 12 de noviembre



1. Una masa que pesa 16 lb se sujeta al extremo inferior de un resorte y ocasiona que éste se estire 2 pies, al llegar al reposo en equilibrio. Se tira luego de la masa 6 pulgadas hacia abajo y se le aplica una velocidad dirigida hacia arriba, de ½ pie/s. Determine la ecuación del movimiento armónico simple de la masa. ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que la masa regrese por primera vez a la posición de equilibrio?

2. Una masa de 2 kg estira un resorte 49 cm al llegar al reposo en equilibrio. La constante de amortiguación del sistema es 8(5)1/2 kg/s. Si la masa se tira 10 cm hacia abajo del punto de equilibrio y se le aplica una velocidad de 2 m/s dirigida hacia abajo, ¿cuál es el desplazamiento máximo que alcanzará a partir de la posición de equilibrio?

3. Se suspende una masa de 1 slug de un resorte que tiene una constante de 8lb/pie. La masa se pone inicialmente en movimiento de la posición de equilibrio, sin velocidad inicial aplicándole una fuerza externa F(t)=16 Cos 4t. Halle el movimiento resultante de la masa si la fuerza debida a la resistencia del aire es -4x’ lb.

4. Un circuito RLC, con R=6 ohmios, C=0.02 faradios, y L=0.1 henrios, tiene un voltaje aplicado de E(t)=6 voltios. Suponiendo que no hay corriente inicial y no hay carga inicial para t=0 cuando se aplica el voltaje por primera vez, halle la carga resultante en el condensador y la corriente en el circuito.

5. Un sistema resorte-masa con amortiguación consta de una masa de 7 kg, un resorte con constante de 3 N/m, una componente de fricción con constante de amortiguación 2N.s/m y una fuerza externa dada por f(t)=10cos 10t N. Usando un resistor de 10 ohms, contruya un circuito RLC en serie que sea análogo a este sistema mecánico, en el sentido de que ambos sistemas estén regidos por la misma ecuación diferencial.

6. Sobre una superficie horizontal y lisa se sujeta una masa de m1 kg a una superficie vertical por medio de un resorte cuya constante es k1 N/m. Tora masa m2 kg se conecta al primer objeto mediante un resorte con constante k2 N/m. Los objetos se alinean horizontalmente de modo que los resortes queden con sus longitudes naturales. Este sistema resorte-masa acoplado está regido por el sistema de ED:
 

Supongamos que m1=m2=1, k1=3 y k2=2. Si ambos objetos se desplazan 1m a la derecha de sus posiciones de equilibrio y luego se sueltan sin conferirles velocidad alguna, determine las ecuaciones de movimiento de los objetos como sigue:

a) Demuestre que x(t) satisface la ecuación x(4)(t) + 7 x’’(t) + 6x(t) =0

b) Encuentre la solución general x(t) de la ecuación anterior.

c) Sustituya x(t) en la primera ecuación del sistema para obtener la solución general de y(t).

d) Utilice las condiciones iniciales para determinar las soluciones x(t) y y(t) que son las ecuaciones de movimiento.

7. Calcule la trayectoria de un péndulo simple cuya posición inicial es zeta=10 ͦ y omega=0. Calcular el período tomando el promedio de las primeras 5 oscilaciones.

8. Estudie el caso de la caída del puente de Tacoma Narrows (1940). Proponga un modelo matemático para explicar su colapso.

9. Estudie el movimiento del cometa Halley. Proponga un modelo matemático que permita describir su trayectoria.

10. Determine la forma de la curvatura de deflexión de una viga horizontal uniforme de longitud L y peso w por unidad de longitud, que se encuentra apoyada de manera simple en cada extremo.