Aplicaciones de las ED de orden superior

Aquí les cololoco algunos problemas con solución.

Aplicaciones de las ED de primer orden

Aquí les coloco para su estudio, algunos ejemplos resueltos sobre las aplicaciones de las ED de primer orden que hemos estado viendo en clase. (Al hacer doble click en la imagen podrán verla completa)

Tomado de: Ecuaciones Diferenciales Modernas; Richard Bronson

Aplicaciones de las ED de orden superior

Tarea 5.

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

Instrucciones:

Todos deberán contar con la solución de todos los problemas de forma personal para posterior revisión.

Por equipos, formados en la tarea anterior de aplicaciones, deberán comprometerse en la solución de un problema. Elaborar una presentación de dicha solución que contenga: Fundamentos, planteamiento del modelo, solución de la ED (indicando el tipo de ésta y métodos de solución empleados, haciendo hincapié en el significado físico de cada concepto matemático estudiado), gráfica de la solución.



Fecha de revisión de avance: 11 de noviembre


Fecha de presentaciones: 12 de noviembre



1. Una masa que pesa 16 lb se sujeta al extremo inferior de un resorte y ocasiona que éste se estire 2 pies, al llegar al reposo en equilibrio. Se tira luego de la masa 6 pulgadas hacia abajo y se le aplica una velocidad dirigida hacia arriba, de ½ pie/s. Determine la ecuación del movimiento armónico simple de la masa. ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que la masa regrese por primera vez a la posición de equilibrio?

2. Una masa de 2 kg estira un resorte 49 cm al llegar al reposo en equilibrio. La constante de amortiguación del sistema es 8(5)1/2 kg/s. Si la masa se tira 10 cm hacia abajo del punto de equilibrio y se le aplica una velocidad de 2 m/s dirigida hacia abajo, ¿cuál es el desplazamiento máximo que alcanzará a partir de la posición de equilibrio?

3. Se suspende una masa de 1 slug de un resorte que tiene una constante de 8lb/pie. La masa se pone inicialmente en movimiento de la posición de equilibrio, sin velocidad inicial aplicándole una fuerza externa F(t)=16 Cos 4t. Halle el movimiento resultante de la masa si la fuerza debida a la resistencia del aire es -4x’ lb.

4. Un circuito RLC, con R=6 ohmios, C=0.02 faradios, y L=0.1 henrios, tiene un voltaje aplicado de E(t)=6 voltios. Suponiendo que no hay corriente inicial y no hay carga inicial para t=0 cuando se aplica el voltaje por primera vez, halle la carga resultante en el condensador y la corriente en el circuito.

5. Un sistema resorte-masa con amortiguación consta de una masa de 7 kg, un resorte con constante de 3 N/m, una componente de fricción con constante de amortiguación 2N.s/m y una fuerza externa dada por f(t)=10cos 10t N. Usando un resistor de 10 ohms, contruya un circuito RLC en serie que sea análogo a este sistema mecánico, en el sentido de que ambos sistemas estén regidos por la misma ecuación diferencial.

6. Sobre una superficie horizontal y lisa se sujeta una masa de m1 kg a una superficie vertical por medio de un resorte cuya constante es k1 N/m. Tora masa m2 kg se conecta al primer objeto mediante un resorte con constante k2 N/m. Los objetos se alinean horizontalmente de modo que los resortes queden con sus longitudes naturales. Este sistema resorte-masa acoplado está regido por el sistema de ED:
 

Supongamos que m1=m2=1, k1=3 y k2=2. Si ambos objetos se desplazan 1m a la derecha de sus posiciones de equilibrio y luego se sueltan sin conferirles velocidad alguna, determine las ecuaciones de movimiento de los objetos como sigue:

a) Demuestre que x(t) satisface la ecuación x(4)(t) + 7 x’’(t) + 6x(t) =0

b) Encuentre la solución general x(t) de la ecuación anterior.

c) Sustituya x(t) en la primera ecuación del sistema para obtener la solución general de y(t).

d) Utilice las condiciones iniciales para determinar las soluciones x(t) y y(t) que son las ecuaciones de movimiento.

7. Calcule la trayectoria de un péndulo simple cuya posición inicial es zeta=10 ͦ y omega=0. Calcular el período tomando el promedio de las primeras 5 oscilaciones.

8. Estudie el caso de la caída del puente de Tacoma Narrows (1940). Proponga un modelo matemático para explicar su colapso.

9. Estudie el movimiento del cometa Halley. Proponga un modelo matemático que permita describir su trayectoria.

10. Determine la forma de la curvatura de deflexión de una viga horizontal uniforme de longitud L y peso w por unidad de longitud, que se encuentra apoyada de manera simple en cada extremo.

SEGUNDO EXAMEN PRE-PARCIAL

LA TECNOLOGÍA FALLÓ, ESTABA PROGRAMADO PERO NO SE MOSTRÓ OPORTUNAMENTE. QUIENES NO LO HAYAN CONSEGUIDO (PORQUE SE LO DÍ A SU JEFE DE GRUPO AYER EN CLASE) ENVÍENMELO HOY ANTES DE LAS 4 PM POR E-MAIL.

Instrucciones:

El examen es para llevar a casa. Deberá ser resuelto en equipos de 3 personas según su elección; deberá resolverse “a mano” con letra legible, no “a computadora”. Deberá ser resuelto por los miembros del equipo sin entablar comunicación con otros equipos o personas ajenas a nuestro curso (maestros o estudiantes). Es necesario que esta regla sea respetada para que la actividad tenga su beneficio tanto a nivel de aprendizaje como de calificación. No pueden realizarse consultas bibliográficas para responder la sección de teoría. Para las secciones prácticas pueden efectuarse consultas, en cuyo caso se deberá citar la referencia completa consultada (incluyendo páginas). El examen deberá ser devuelto el día 26 en horario de 8:00 a 8:15 horas afuera de nuestro salón. Cualquier examen no recibido a esa hora será calificado con 0 (cero).

I. VALOR 3 PUNTOS. Responde con tus palabras las siguientes preguntas.

1 Describa alguna aplicación de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, señalando:

a) Descripción del fenómeno elegido y modelo matemático que lo representa

b) Solución de dicho modelo, explicando los métodos y consideraciones utilizados para ello.

c) Gráfica de la solución y comentario de su utilidad.

2. Explique mediante un diagrama de llaves la clasificación de las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior.

3. Explique ¿qué es el conjunto fundamental de soluciones? y señale ¿cómo podría verificarse si un conjunto de funciones constituyen o no dicho conjunto?

II. VALOR 2.5 PUNTOS. La corriente sanguínea lleva un medicamento hacia el interior de un órgano a razón de 3 cm3/s y sale de él a la misma velocidad. El órgano tiene un volumen líquido de 125 cm3. Si la concentración del medicamento en la sangre que entra en el órgano es de 0.2 g/cm3:

a) ¿Cuál es la concentración del medicamento en el órgano en el instante t si inicialmente no había vestigio alguno del medicamento?

b) ¿Cuándo la concentración del medicamento en el órgano será de 0.1 g/cm3?

III. VALOR 2 PUNTOS. Resolver:

IV. VALOR 2.5 PUNTOS. Hallar la solución de:

Tarea 2. Aplicaciones de las ED de Primer Orden

Tarea 2. Aplicaciones de las ED de primer orden.


Fecha de envío de reporte: 27 de septiembre (vía e-mail)


Fecha de presentaciones: 30 de septiembre y 1º de octubre


Temas:

Trabajo en equipo: Los equipos han sido conformados por la maestra y han sido asignados roles. TODOS los integrantes deberán investigar individualmente el tema proporcionado, para después integrarlo en equipo y generar un reporte en Word y una presentación en Power Point.

El coordinador es responsable de:

• motivar la participación de todos los miembros del equipo y reportar los casos en que ésta no se dé.

• Organizar y orientar el trabajo, marcando límites de tiempo y sugiriendo formas para realizar las tareas con mayor eficacia.

• Resuelve las problemáticas tanto en requerimiento de recursos técnicos o debidas a diferencias de opiniones entre los miembros.

• Envía reporte por correo electrónico a la maestra en fecha señalada.

El integrador es responsable de:

• Analiza los conceptos investigados con el material previamente estudiado.

• Formular las conclusiones de lo que se ha analizado, asegurando su exactitud.

• Enlista los documentos bibliográficos o electrónicos consultados.

• Redacta el reporte final en Word.

El verificador es responsable de:

• Solicita a todos los miembros la fundamentación de sus opiniones o respuestas.

• Identifica ideas o razonamientos erróneos a descartar.

• Asegura la comprensión de todos los miembros del grupo. En su caso busca los apoyos necesarios para lograrla.

• Revisa y asegura la correcta redacción y presentación del reporte final.

• Incluye en el reporte una evaluación cualitativa de la participación de cada compañero (E: excelente, MB: muy buena; B: buena; R: regular; M: mala)



El expositor es responsable de:

• Dirigir la discusión grupal en torno a la mejor forma de explicar el tema ante el grupo.

• Elabora la presentación en Power Point con los requisitos solicitados.

• Se prepara para realizar una eficiente presentación y asegura que sus compañeros estén preparados en caso de que se solicita su intervención.



Indicaciones.

Investigar y estudiar el tema. No olvidar tomar nota de las fuentes consultadas. Incluir además de libros de ED, al menos un libro del campo de aplicación (Ejemplo: física, ingeniería de las reacciones, etc).

Elaborar un reporte escrito de su estudio/aprendizaje que incluya al menos los siguientes puntos:

1. Descripción general del tema, área del conocimiento a la que pertenece, utilidad de su estudio.

2. Planteamiento del fenómeno a estudiar y del modelo matemático general que lo representa.

3. Solución del modelo generado. Detallar los pasos necesarios para el manejo matemático. Indicar el o los métodos utilizados para solucionarlo.

4. Representación gráfica de la solución. Incluir una breve descripción de “lo que la gráfica dice”.

5. Utilidad de la solución.

6. Dos problemas resueltos de aplicación del modelo matemático estudiado.

7. Referencias.

Preparar una presentación en Power Point para mostrar al resto del grupo los resultados de su investigación. Tiempo de exposición: 15 minutos. Incluir al menos la descripción de un problema resuelto. Asegurarse que las diapositivas son claras y legibles, evitar tamaños de letras muy pequeños o llenar diapositivas con texto. Asegurar que la exposición que hagan será de provecho para todos (si ustedes entienden bien el tema será muy sencillo compartirlo, si tienen dudas consultarlas anticipadamente con la maestra).

El orden de exposición será indicado por la maestra el día de inicio de exposiciones, debiendo todos estar preparados. La actividad será calificada por equipo en dos partes: reporte escrito y presentación.

 

Campo de direcciones e isóclinas

Consulta la siguiente información sobre el tema "Campo de direcciones e isóclinas".
http://iteso.mx/~flizaola/notas/c1/camposdirec.pdf .  Responde las siguientes preguntas a comentar en la próxima clase:
1. ¿Cómo está involucrada la definición de la derivada en el desarrollo de este método?
2. ¿Cómo defines un campo de direcciones?
3. ¿Qué es una isóclina?

En el siguiente enlace encontrarán una herramienta para trazar isóclinas y soluciones. Explóralo.
http://ocw.mit.edu/ans7870/18/18.03/s04/mathlets/Isoclines.html
Comenta su utilidad. Si es posible busca otras opciones para obtener software que nos ayude a la graficación de campos de direcciones e isóclinas y por tanto a la aproximación de soluciones. Coméntanos.

Modelos matemáticos

Lee el siguiente párrafo, tomado del libro de Kent y Saff:
"En la actualidad, cuando los científicos buscan fomentar nuestra comprensión de la naturaleza y los ingenieros- en un nivel más pragmático - procurar encontrar respuestas a problemas técnicos, el proceso de representar nuestro "mundo real" en términos matemáticos se ha convertido en un instrumento de valor incalculable. Este proceso de imitar la realidad utilizando el lenguaje de las matemáticas se conoce como modelación matemática."
Comenta una o más de las siguientes preguntas:

1. ¿Es lo mismo formulación del problema y desarrollo del modelo? ¿por qué?
2. ¿Qué pasos incluye el desarrollo de un modelo matemático?
3. ¿Cómo se prueba la validez de un modelo matemático?
4. ¿Una ecuación diferencial es un modelo matemático? ¿en qué circunstancias?

Programa de estudio

Aquí tienes el programa de estudio, para que tomes nota de los objetivos del curso. En especial, quiero recomendarte que pongas mucha atención en los saberes heurísticos que contempla, que que este curso es una excelente oportunidad para desarrollar las habilidades de análisis e interpretación de datos, tan necesarias en tus cursos siguientes y en tu desempeño profesional. Igualmente los saberes axiológicos son la base para que el curso se desenvuelva de la mejor manera posible y por tanto los saberes teóricos sean adecuadamente adquiridos.